Números Complexos

Números Complexos

Notação

Conjunto dos números Complexos: \mathbb{C}

Definição

Um número Complexo é definido como sendo um par ordenado Z=(x,y)=\hspace{2}x\hspace{2}+\hspace{2}iy, onde i\hspace{2}=\hspace{2}\sqrt{-1} é a unidade imaginária, com x,y\hspace{2}\in\hspace{2}\mathbb{R}.

A parte real do número complexo Z é definida por ReZ\hspace{2}=\hspace{2}x, e a parte imaginária de Z é definida por ImZ\hspace{2}=\hspace{2}y.

Dois números complexos Z_{1}=(x_{1},y_{1})=x_{1}+iy_{1} e Z_{2}=(x_{2},y_{2})=x_{2}+iy_{2} são iguais
Z_{1}=Z_{2}\Leftrightarrow{x_{1}}=x_{2} e y_{1}=y_{2},
ou seja, ReZ_{1}=ReZ_{2} e ImZ_{1}=ImZ_{2}.

Operações nos Complexos

Soma

Dados dois números complexos:
Z_{1}=x_{1}+iy_{1}=(x_{1},y_{2}) e z_{2}=x_{2}+iy_{2}=(x_{2},y_{2}),

(1)
Z_{1}+Z_{2}\hspace{1}=\hspace{1}(x_{1}+x_{2})\hspace{1}+\hspace{1}i(y_{1}+y_{2})\hspace{1}=\hspace{1}(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})

Diferença

Dados Z_{1}=x_{1}+iy_{1}, z_{2}=x_{2}+iy_{2} e z_{3}=x_{3}+iy_{3}, definimos:

Z_{1}-Z_{2}=Z_{3}\Leftrightarrow{Z_{1}=Z_{2}+Z_{3}}


Equivalentemente,

x_{1}+iy_{1}=(x_{2}+x_{3})+i(y_{2}+y_{3})


Logo,

x_{1}=x_{2}+x_{3}{\Rightarrow}x_{3}=x_{1}-x_{2}
y_{1}=y_{2}+y_{3}{\Rightarrow}y_{3}=y_{1}-y_{2}
Assim:

(2)
Z_{1}-Z_{2}\hspace{1}=\hspace{1}(x_{1}-x_{2})\hspace{1}+\hspace{1}i(y_{1}-y_{2})\hspace{1}=\hspace{1}(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})

Multiplicação

Sejam Z_{1}=x_{1}+iy_{1}=(x_{1},y_{2}) e z_{2}=x_{2}+iy_{2}=(x_{2},y_{2}),

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