Transformada de Laplace

Em meados de 1744, Leonard Euler investigava soluções na forma e para equações diferenciais, mas não analisou o problema muito a fundo. Lagrange, um admirador do trabalho de Euler, em seu trabalho de integrar funções de densidade de probabilidade, investigou integrais da forma .
Esses tipos de integrais chamaram a atenção de Laplace em 1782, quando ele estava seguindo as idéias de Euler, usando integrais como soluções de equações diferenciais. Porém, em 1785, Laplace deu um enorme passo à frente quando, ao invés de olhar para soluções na forma de integrais, ele passou a utilizá-las do modo em que se popularizaram. Ele usou uma integral da forma:

(1)

parecida com a transformada de Mellin, que transforma toda a equação e procura soluções para a equação transformada. Laplace então passou aplicar sua transformada de modo análogo e a perceber algumas de suas propriedades, começando a perceber sua potencial força.

As transformadas integrais, de modo geral, servem para resolver problemas em que a solução em seu domínio original é muito difícil. Por exemplo, algumas equações diferenciais que dependem do tempo podem ser facilmente resolvidas em um domínio-alvo, ao fazer uma mapeamento do domínio original para um domínio-alvo e depois remapeando a solução para o domínio original.

Elas podem ser descritas como uma integral definida do produto de um núcleo e de uma função com domínio em :

(2)

Assim, temos como resultado da integral, uma função .

O núcleo da transformada de Laplace, como a conehcemos hoje é , e a transformada é:

(3)

onde f(t) é uma função real.
Porém, na maioria dos casos para análise dos resultados obtidos, nos basta a integral de zero a infinito:

(4)

Para simplificar a notação, adota-se para representar a transformada de Laplace de uma função f(t).
Como exemplo, veja o cálculo da transformada da função .

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